PROPOSISI

Logika dapat dilacak secara historis mulai dari kelahirannya pada jaman Yunani Kuno yang dipelopori oleh Aristoteles (384-322 SM).Tokoh ini belum menyebutkan dengan istilah “Logika”.Beliau menggunakan istilah “Analitika” dan “Dialektika”. Analitika digunakan untuk menyebut cara penalaran yang berdasarkan pada pernyataan-pernyataan yang benar. Sedang dialektika digunakan untuk menyebut cara penalaran yang berdasarkan pada patokan-patokan duga. Kemudian Analitika dan Dialektika, kedua-duanya merupakan jenis pengetahuan yang disebut Logika.

Dalam perkembangan selanjutnya, Logika pada umumnya dipandang sebagai salah satu cabang pengetahuan Filsafati.Kini, Logika ditetapkan secara pasti sebagai suatu ilmu, yakni ilmu mengenai penyimpulan formal atau ilmu tentang proses-proses penalaran. Hingga pertengahan abad 19, Logika yang paling berpengaruh adalah Logika Tradisional yang diciptakan oleh Aristoteles yang dikembangkan pada masa berikutnya, terutama dari abad 16 sampai abad 19.

Dalam perkembangan Logika, dikenal perbedaan penghampiran dalam menafsirkan tugas dan sifat dasar dari Logika.Berdasarkan hal tersebut, timbul adanya aliran-aliran (mazhab-mazhab) Logika yang didukung oleh ahli-ahli Logika. Pada pokoknya dapat dibedakan adanya lima mazhab besar dalam Logika, yaitu:

 (1) Mazhab Logika Tradisional

Pelopor mazhab ini adalah Aristoteles.Mazhab ini menafsirkan Logika sebagai suatu kumpulan aturan-aturan praktis yang menjadi petunjuk bagi pemikiran.

(2) Mazhab Logika Metafisis

Mazhab ini dipelopori oleh Frederich Hegel (1770-1831). Mazhab ini beranggapan bahwa susunan pikiran itu sebenarnya sama seperti kenyataan, sehingga Logika diangggap sama seperti metafisika. Tugas pokok Logika antara lain menafsirkan pikiran sebagai suatu tahap dari struktur kenyataan. Oleh karena itu untuk mengetahui kenyataan, orang harus belajar Logika dahulu.

(3) Mazhab Logika Epistemologis

Mazhab ini dipelopori oleh Francis Herbert Bradley (1846-1924) dan Berdnard Bosanquet (1848-1923).Mazhab ini berpendapat bahwa untuk dapat mencapai pengetahuan yang memadai, maka pikiran logis dan perasaan harus digabung.Untuk dapat mencapai suatu kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan lainnya.

(4) Mazhab Logika Instrumentalis

Pelopor mazhab ini ialah John Dewey (1859-1952).Mazhab ini disebut pula mazhab Logika Pragmatis.Logika ditafsirkan sebagai suatu alat (instrumen) dan langkah-langkah untuk memecahkan suatu masalah.

 (5) Mazhab Logika Simbolis.

Pelopor mazhab ini ialah Leibniz, Boole, dan De Morgan.Mazhab ini sangat menekankan pentingnya bahasa simbol yang dipergunakan untuk mempelajari secara terperinci bagaimana akal itu harus bekerja.Metode yang banyak digunakan dalam mazhab ini adalah metode-metode dalam Matematika.Mazhab logika ini telah berkembang sangat teknis dan ilmiah yang sangat bercorak Matematika, sehingga disebutnya Logika Matematika (Mathematical Logic).

Sejak pertengahan abad 19, para ahli Matematika mengembangkan Logika Tradisional dengan metode-metode Matemat Simbolis. Logika Simbolis ini merupakan logika formal yang menelaah semata-mata bentuknya dan bukan isi dari apa yang dibicarakan. Karena kita akan banyak mempelajari Logika Simbolis ini, kirany Logika Simbolis ini merupakan logika formal yang menelaah semata-mata bentuknya dan bukan isi dari apa yang dibicarakan. Karena kita akan banyak mempelajari Logika Simbolis ini, kiranya ada baiknya apabila berikut ini dibicarakan beberapa pendapat tentang Logika Simbolis.

(1) James W. Amstrong dalam bukunya “Elements of Mathematics” menuliskan bahwa: “Logika Simbolis adalah studi tentang bagaimana pernyataan-pernyataan yang diketahui dan bagaimana nilai kebenarannya dapat ditentukan dari nilai-nilai kebenaran pernyataan-pernyataan semula”.

(2) Alonzo Church dalam bukunya “Symbolic Logic” menuliskan antara lain sebagai berikut: “Tujuan dari pembahasan Logika Formal dengan memakai bahasa logika yang diformalkan atau sistem tanda logika ialah menghindarkan makna ganda dan kelemahan logis dari bahasa sehari-hari”.

(3) Frederick B. Fitch dalam bukunya “Symbolic Logic” menuliskan antara lain sebagai berikut: “Ilmu tentang penyimpulan yang sah, khususnya yang dikembangkan dengan penggunaan metode-metode Matematika dan dengan bantuan simbol-simbol khusus akan memungkinkan seseorang menghindarkan makna ganda dari bahasa sehari-hari”.

(4) Corrinne Jacker berpendapat bahwa: “Pemakai simbol-simbol Matematika untuk mewakili bahasa, dan dengan simbol-simbol ini diolah sesuai dengan aturan-aturan Matematika untuk menetapkan apakah suatu pernyataan atau serangkaian pernyataan bernilai benar atau salah.

Pada perkembangan terakhir hingga saat ini, Logika Simbolis (Logika Matematika) mencakup 4 cabang, yaitu:

(1) Logika Pernyataan (Propositional Logic).

Suatu cabang Logika Simbolis yang membicarakan tentang pernyataan tunggal (pernyataan atom = pernyataan prima) dan pernyataan-pernyataan dengan perangkai yang disebut pernyataan majemuk (tersusun). Dalam menentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan tunggalnya diketahui, digunakan beberapa kaidah dan aturan-aturan.Pokok bahasan seperti ini sering disebut Kalkulus Pernyataan.

(2) Logika Sebutan

Logika Sebutan merupakan cabang dari Logika Simbolis yang menelaah tentang perubah (variable) dalam suatu kalimat, kuantifikasi (kuantor) dan aturan-aturan serta tata cara dalam penyimpulan dan menentukan sahnya suatu argumen. Pokok bahasan yang membicarakan ini sering disebut Kalkulus Sebutan.

(3) Logika Hubungan

Logika ini membicarakan hubungan pernyataan-pernyataan, misalnya: hubungan simetris, hubungan refleksif, hubungan transitif dan lain sebagainya. Pengertian, ciri, unsur dan aneka konsep yang bertalian dengan hubungan, juga merupakan pokok pembicaraan dari Logika Hubungan.

(4) Logika Himpunan

Logika Himpunan mempunyai kaitan yang sangat erat dengan Matematika, terutama dengan Teori Himpunan.Logika ini membicarakan tentang unsur-unsur suatu himpunan, operasi-operasi pada himpunan-himpunan dan hukum atau aturan-aturan yang berlaku.

KALIMAT PERNYATAAN ATAU PROPOSISI

Setiap kumpulan kata yang berarti yang disusun menurut aturan tata bahasa disebut kalimat.Kalimat yang dibicarakan dalam logika Matematika adalah kalimat-kalimat yang menerangkan (indicative sentences/declarative sentences). Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu nilai benar atau nilai salah tetapi tidak kedua-duanya disebut pernyataan. Sekarang akan dibicarakan perbedaan antara pernyataan (statement) dan proposisi (proposition). Beberapa penulis, kedua istilah itu dianggap sama, bahkan dipakai secara berganti-ganti. Beberapa penulis lain hanya menyebutkan pernyataan, dan tidak menyebut-nyebut proposisi. Beberapa penulis lainnya lagi membedakan antara kedua istilah tersebut. Bagi kelompok pertama, yaitu penulis-penulis yang menganggap sama antara proposisi dan pernyataan (kalimat deklaratif) menyimpulkan bahwa istilah-istilah itu didefinisikan sebagai kalimat yang mempunyai nilai benar atau nilai salah, tetapi tidak kedua-duanya.

PERNYATAAN MAJEMUK DANTABEL KEBENARAN

Pada pembicaraan ini dan seterusnya kita hanya membicarakan pernyataan-pernyataan

saja. Pernyataan-pernyataan sederhana digandengkan menjadi pernyataan majemuk

(tersusun) dengan menggunakan kata-kata perangkai (penghubung). Kata-kata perangkai itu

adalah :

(1) “atau” dengan simbol “ Ú ”

(2) “dan” dengan simbol “&” atau “ Ù ”

(3) “apabila …. maka….” dengan simbol “ Þ ”

(4) “bila dan hanya bila” dengan simbol “ Û ”

Sedangkan negasi (sangkalan) suatu pernyataan digunakan kata-kata “tidak benar

bahwa” yang diberi simbol “-” di depan pernyataan yang disangkal (diingkar). Di depan

telah dikatakan bahwa pernyataan-pernyataan diberi simbol dengan huruf alfabet kecil: a, b,

c, d, ….. Sedangkan nilai “Benar” atau “Salah” suatu pernyataan disingkat berturut-turut

dengan “B” atau “S”.

A. Negasi (Sangkalan/Ingkaran)  ” -  “

Negasi suatu pernyataan ialah suatu pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan semula bernilai benar, dan bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai salah. Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel yang disebut tabel kebenaran untuk negasi suatu pernyataan sebagai berikut:

Contoh : Jika a: “Ida suka mangga”

maka –a : “Tidak benar bahwa Ida suka mangga”.

B. Konjungsi Dua Pernyataan  ”a^b”

Konjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a & b” (dibaca “a dan b”) bernilai B (benar), hanya apabila kedua pernyataan tunggalnya bernilai B, dan untuk nilai-nilai kebenarana dan b lainnya, maka “a & b” bernilai S (salah). Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran konjungsi dua pernyataan a dan b.

Contoh :

1) Misalkan “a” menyatakan “Tembok itu berwarna hitam”, maka negasi a yaitu “-a” menyatakan “Tidak benar bahwa tembok itu berwarna hitam”. Lebih ringkas dikatakan “Tembok itu tidak berwarna hitam”.

Apabila “b” menyatakan “Tembok itu berwarna putih”, maka b bukan negasi dari a.

Sebab apabila kenyataannya tembok itu berwarna hijau, maka baik a maupun b kedua pernyataan bernilai salah. Hal ini bertentangan dengan definisi 3.1.

2) Jika p dan q keduanya bilangan real, maka negasi dari “p > q” adalah “tidak benar bahwa p> q”. Tidak benar bahwa p > q tidak berarti bahwa p < q, sebab jika kenyataannya p = q, maka baik p > q maupun p < q keduanya bernilai salah. Sehingga negasi dari “p > q” adalah “p £ q”.

a -a -(-a)

Catatan: Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang selalu berlainan, artinya jika suatu pernyataan diketahui bernilai B, maka negasinya bernilai S dan sebaliknya jika suatu pernyataan diketahui bernilai S, maka negasinya bernilai B.

C. Disjungsi Dua Pernyataan

Disjungsi dua pernyataan a dan b ditulis “a Ú b” (dibaca: “a atau b”) bernilai S hanya apabila dua pernyataan tunggalnya bernilai S, sedangkan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka “a Ú b” bernilai B. Definisi ini dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran disjungsi dua pernyataan a dan bsebagai berikut:

Contoh:

1) “7 adalah bilangan prima atau 7 lebih besar dari 8” adalah disjungsi yang bernilai benar

2) “5 adalah bilangan prima atau 5 membagi habis 20” adalah suatu dijungsi yang bernilai benar.

3) “ 6 adalah faktor dari 9 atau 4 + 7 = 10” adalah suatu dijungsi yang bernilai salah.

4) Apabila x bilangan nyata, maka (x – 1)(x – 5) = 0 dipenuhi jika x = 1 Ú x = 5.

Disjungsi dua pernyataan yang didefinisikan sesuai dengan tabel 3.3 disebut disjungsiinklusif. Disjungsi jenis lain disebut disjungsi eksklusif. Disjungsi eksklusif dua pernyataan a dan b disimbolkan sebagai “a Ú b” (dibaca “atau a atau b”).

D. Implikasi (Kondisional) Dua Pernyataan

Implikasi dua pernyataan a dan b diberi simbol “a Þ b” (dibaca “apabila a maka b”). a disebut pendahulu (antecedent) dan b disebut pengikut (consequent). Implikasi “a Þ b” bernilai S hanya apabila pendahulu a bernilai B dan pengikut b bernilai S, untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, maka implikasi “a Þ b” bernilai B.

Definisi tersebut dapat dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran implikasi

Implikasi a Þ b

Dalam percakapan sehari-hari pernyataan majemuk “apabila … maka …” biasanya ada suatu hubungan antara pendahulu dan pengikut.

Contoh:

Apabila matahari terbit dari barat, maka Siti lulus ujian.

Kalimat ini sering kita dengar, dan dimaksudkan bahwa mustahil Siti akan lulus dalam menempuh ujiannya. Meskipun dalam implikasi itu tidak ada hubungan antara pendahulu (matahari terbit dari barat) dan pengikut (Siti lulus ujian). Implikasi itu bernilai benar, sebab pendahulunya bernilai salah.

Definisi implikasi lanjut  :

Apabila diketahui “a Þb” maka

(1) bÞ a disebut konvers dari a Þb

(2) – a Þ – b disebut invers dari a Þb

(3) – b Þ – a disebut kontraposisi (kontrapositif) dari a Þb .

E. Biimplikasi (Bikondisional)

Biimplikasi a dan b (disimbolkan dengan “a Ûb” ) bernilai benar apabila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama, dan mempunyai bernilai salah apabila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang berbeda.

Teorema: a Û b

ek ( a Þ b ) & ( b Þ a )

aÛ b

ek ( a Þ b ) & (b Þ a )

Pada implikasi a Þ b ,a adalah syarat cukup bagi b, dan pada implikasi b Þ a , a adalah syarat perlu bagi b. Sehingga a Û b berarti a adalah syarat cukup dan perlu bagi b dan sebaliknya.

Contoh:

Apabila ketiga sisi suatu segitiga sama panjang maka segitiga itu samasisi.

Dimaksudkan bahwa “ketiga sisi suatu segitiga sama panjang bila dan hanya bila segitiga itu sama sisi”. Selanjutnya kata perangkai “bila dan hanya bila” disingkat “bhb”. Kita telah menggunakan singkatan “ek” untuk “ekuivalen”. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila nilai-nilai kebenarannya sama. Bandingkanlah aÛ b dengana ek b. Kedua pernyataan ini mempunyai nilai kebenaran sama.

F. Negasi-Negasi dari Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi.

Untuk menentukan negasi-negasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi disusun tabel-tabel kebenarannya dalam satu tabel.

Misalkan kita akan menentukan negasi dari (a & b), yaitu –(a & b), nilai-nilai kebenarannya terlihat pada kolom ke-8. Nilai-nilai kebenaran pada kolom itu terdiri atas satu S dan diikuti berturut-turut tiga B. Hal ini hanya terjadi pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung “ Ú ”, yaitu –a Ú -b.

Jadi –(a & b) ek –aÚ –b

Nilai-nilai kebenaran dari –(a Ú b) berturut terdiri atas tiga S dan satu B (lihat kolom 9). Hal ini hanya terjadi pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung “&”, yaitu -a & -b.

Jadi –(a Ú b) ek -a & -b.

Nilai-nilai kebenaran dari –(a Þ b) terdiri atas tiga S dan satu B (lihat kolom 10). Hal ini hanya terjadi pada nilai-nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan kata penghubung “&”, yaitu a & -b. Jadi

–(a Þ b) ek a & -b.

Kita telah mengetahui bahwa b a Û

ek ( a Þ b ) & ( b Þ a )

Maka–( a Û b ) ek –(( a Þ b ) & ( b Þ a ))

ek –( a Þ b ) Ú –( b Þ a )

ek (a & -b) Ú (b & -a)

Jadi  –( a Û b ) ek (a & -b) Ú (b & -a)

Referensi
http://achemadfaroeqs.wordpress.com/2013/06/25/logika-matematika-proposisi/